等比数列的求和公式可以通过等比定理推导得出，但其推导过程有一定的限制条件。
等比数列是指每一项与它的前一项之间的比值都相等的数列。例如，数列2, 4, 8, 16...就是一个等比数列，因为每一项与它的前一项的比值都是2。
等比数列的求和公式为：S_n = a_1 (1 - q^n) / (1 - q)，其中a_1 是第一项，q是公比，n是项数。
这个公式可以通过等比定理推导得出。等比定理指出，如果一个数列是等比的，那么它的任意两项之和都等于后面一项。通过这个定理，我们可以得到以下推导：
S_n = a_1 + (a_1 * q) + (a_1 * q^2) + ... + (a_1 * q^(n-1))
qS_n = a_1 * q + (a_1 * q^2) + (a_1 * q^3) + ... + (a_1 * q^n)
两式相减，得到：
(1 - q)S_n = a_1 (1 - q^n)
然后，我们可以得到等比数列的求和公式：S_n = a_1 (1 - q^n) / (1 - q)
值得注意的是，这个推导过程成立的前提是q不等于1。如果q等于1，那么数列就变成了常数数列，求和公式将失去意义。因此，推导等比数列的求和公式时，需要假设公比q不等于1。
等比数列是一种数列，其中每一项（除了第一项）都是前一项的固定倍数。这个固定倍数被称为公比。等比数列有很多有用的性质，以下是一些基本性质及其应用：
1. 公比：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么公比r是常数，且r^n = ar^(n-1) / ar^n。因此，我们可以通过已知的相邻项关系来确定公比。
应用：已知an和a_{n+1}，我们可以求出公比r = a_{n+1} / an。
2. 和/差公式：设a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么它们的和Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。同样，这些项的差Dn = ar^(n-1) / (1 - r)。
应用：在等比数列中，我们常用和/差公式来简化求和和求差运算。
3. 通项公式：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么其通项公式为an = ar^(n-1)。
应用：通项公式可以帮助我们找到等比数列中任意一项的值。
4. 求和公式：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么它们的和Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。
应用：求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
5. 等比中项：如果一个数列{a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)}是等比数列，那么它的等比中项是ar^(n/2)（如果n是奇数）或(ar^((n/2) - 1) + ar^((n/2) + 1)) / 2（如果n是偶数）。
应用：等比中项可以帮助我们求取等比数列的“中心”值。
6. 无穷等比数列的和：如果一个等比数列的公比绝对值小于1，那么它的无穷项和S = a / (1 - r)。
应用：这个公式可以帮助我们计算无穷等比数列的和。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a₁≠0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1时，an为常数列。可以用公式表达为：a(n+1)/an=q(式中n为正整数，q为常数）。特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数。
数字推理题的一些经验
1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b
2)深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。
3)看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如 7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，这就是规律。
4)如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数 7+14＝10+11＝9+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。
5)各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如6、24、60、 120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。
6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如 25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上答：256，269，286，302，（），2+5+6=13 2+6+9＝17 2+8+6＝16 3+0+2＝5，∵ 256+13＝269 269+17＝286 286+16＝302 ∴ 下一个数为 302+5＝307。
7)再复杂一点，如 0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。
8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如2就要看成2