等比数列是一种数列，其中每一项（除了第一项）都是前一项的固定倍数。这个固定倍数被称为公比。等比数列有很多有用的性质，以下是一些基本性质及其应用：
1. 公比：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么公比r是常数，且r^n = ar^(n-1) / ar^n。因此，我们可以通过已知的相邻项关系来确定公比。
应用：已知an和a_{n+1}，我们可以求出公比r = a_{n+1} / an。
2. 和/差公式：设a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么它们的和Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。同样，这些项的差Dn = ar^(n-1) / (1 - r)。
应用：在等比数列中，我们常用和/差公式来简化求和和求差运算。
3. 通项公式：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么其通项公式为an = ar^(n-1)。
应用：通项公式可以帮助我们找到等比数列中任意一项的值。
4. 求和公式：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么它们的和Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。
应用：求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
5. 等比中项：如果一个数列{a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)}是等比数列，那么它的等比中项是ar^(n/2)（如果n是奇数）或(ar^((n/2) - 1) + ar^((n/2) + 1)) / 2（如果n是偶数）。
应用：等比中项可以帮助我们求取等比数列的“中心”值。
6. 无穷等比数列的和：如果一个等比数列的公比绝对值小于1，那么它的无穷项和S = a / (1 - r)。
应用：这个公式可以帮助我们计算无穷等比数列的和。
等比数列下标的性质是指一个等比数列中任意两个元素的下标之比都等于它们对应的值之比。
具体而言，设一个等比数列为$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，且公比为$q$，则对于任意两个下标$i<j$，它们对应的值之比为$\\dfrac{a_j}{a_i}$，而它们的下标之比为$\\dfrac{j}{i}$，于是我们可以得到以下关系式：$\\dfrac{a_j}{a_i}=q^{\\dfrac{j-i}{1}}=q^{j-i}$，即等比数列下标的性质成立。在实际问题中，利用等比数列下标的性质可以方便地解决一些涉及指数的计算和推导问题。
等比数列的求和公式可以通过等比定理推导得出，但其推导过程有一定的限制条件。
等比数列是指每一项与它的前一项之间的比值都相等的数列。例如，数列2, 4, 8, 16...就是一个等比数列，因为每一项与它的前一项的比值都是2。
等比数列的求和公式为：S_n = a_1 (1 - q^n) / (1 - q)，其中a_1 是第一项，q是公比，n是项数。
这个公式可以通过等比定理推导得出。等比定理指出，如果一个数列是等比的，那么它的任意两项之和都等于后面一项。通过这个定理，我们可以得到以下推导：
S_n = a_1 + (a_1 * q) + (a_1 * q^2) + ... + (a_1 * q^(n-1))
qS_n = a_1 * q + (a_1 * q^2) + (a_1 * q^3) + ... + (a_1 * q^n)
两式相减，得到：
(1 - q)S_n = a_1 (1 - q^n)
然后，我们可以得到等比数列的求和公式：S_n = a_1 (1 - q^n) / (1 - q)
值得注意的是，这个推导过程成立的前提是q不等于1。如果q等于1，那么数列就变成了常数数列，求和公式将失去意义。因此，推导等比数列的求和公式时，需要假设公比q不等于1。